工程问题
一、核心考点
- 基本逻辑：将工作总量视为单位“1”，核心围绕“工作总量=工作效率×工作时间”展开
- 单人/单主体工作：直接利用基本公式计算效率或时间
- 多人/多主体合作：合作效率=各主体效率之和，注意区分“同时工作”“交替工作”“中途退出”等场景
- 效率变化问题：如主体工作效率提升/降低百分比，需先计算变化后效率再代入公式
- 总量未知问题：可设具体工作总量（通常为各主体工作时间的最小公倍数，简化计算）
二、核心公式
- 基本公式：工作总量（W）= 工作效率（P）× 工作时间（T）
- 效率推导：工作效率（P）= 工作总量（W）÷ 工作时间（T）；工作时间（T）= 工作总量（W）÷ 工作效率（P）
- 合作公式：
多人合作时间：T = W ÷（P₁ + P₂ +... + Pₙ）
- 交替工作时间：先计算一个周期（各主体轮流工作一次）的工作量，再判断剩余工作量所需时间
- 效率变化公式：变化后效率 = 原效率 ×（1 ± 变化百分比）
例题巩固
某单位甲、乙、丙三人负责整理一项档案，他们工作5天完成了1/4，之后甲和乙因其他工作被调离，两天后才返回，期间丙继续整理档案。已知甲、乙、丙三人的工作效率之比为4：3：2，则完成这项工作共需要花费()天。
- 步骤一：设工作效率
已知甲、乙、丙工作效率之比为4:3:2，设甲的效率为4，乙的效率为3，丙的效率为2。
- 步骤二：求三人合作的工作效率和
三人合作的效率和为4 + 3 + 2 = 9。
- 步骤三：根据"5天完成1/4总工作量"求总工作量
$$工作量 = 效率×时间$$，可得$$9x×5 = \frac{1}{4}×总工作量$$，解得$$总工作量 = 180x$$。
- 步骤四：计算甲、乙调离期间（2天）丙的工作量
丙2天的工作量为2x×2 = 4x。
- 步骤五：计算已完成工作量和剩余工作量
前5天完成的工作量为9x×5 = 45x，加上丙2天的工作量4x，已完成工作量为45x + 4x = 49x，剩余工作量为180x - 49x = 131x。
- 步骤六：计算剩余工作量由三人合作完成的时间
三人合作效率为9x，则剩余工作时间为131x÷9x = 14.56天，向上取整为15天（工作天数需取整且保证完成全部工作）。
- 步骤七：计算总天数
总天数为5 + 2 + 15 = 22天。
某工程队计划每天修路560米，恰好可按期完成任务。如每天比计划多修80米，则可以提前2天完成，且最后1天只需修320米。问如果要提前6天完成，每天要比计划多修多少米？
步骤1：设计划完成任务的天数为( t )天，总路程为( 560t )米。
当每天多修80米时，每天修( 560 + 80 = 640 )米，完成时间为( t - 2 )天，且最后1天修320米。
则总路程可表示为：( 640×(t - 3) + 320 )（前( t - 3 )天每天修640米，最后1天修320米）。
步骤2：根据总路程相等列方程：
( 560t = 640×(t - 3) + 320 )
展开得：( 560t = 640t - 1920 + 320 )
移项得：( 640t - 560t = 1920 - 320 )
即( 80t = 1600 )，解得( t = 20 )天。
总路程为( 560×20 = 11200 )米。
步骤3：若要提前6天完成，即完成时间为( 20 - 6 = 14 )天，每天需修( 11200÷14 = 800 )米。
每天比计划多修( 800 - 560 = 240 )米。
一项工程，甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天，丙单独完成需要60天，如果按照甲乙丙的顺序交替进行每人做一天，那么需要（）天能完成。
用 X 代表效率
步骤1：列行
| 项目 |
表达式 |
| 甲 |
总量 = t × X |
| 乙 |
总量 = t × X |
| 丙 |
总量 = t × X |
步骤2：统一单位，赋值总量为60（15、30、60的最小公倍数），所有未知量都赋值成功。
| 项目 |
表达式 |
| 甲 |
60 = 15 × 4 |
| 乙 |
60 = 30 × 2 |
| 丙 |
60 = 60 × 1 |
据此可知，甲乙丙每人每天做的工作量为4、2、1。
步骤3：根据题干求解。
交替进行每人做一天。打包为1轮，完成1轮需要3天，能完成4+2+1=7个单位工作量。
60÷7 = 8余4，即8个周期（24天）后，剩余4。
第25天甲做，甲一天做4，正好完成，所以需要25天，正确答案是A。
一处水池有一大一小两根管子，池里装满水后只开大管6分钟就可以把水放完，如果同时打开，则4分钟就可以放完，如果只开小管，需要()分钟放完。
用 X 代表效率
步骤1：列行
| 项目 |
表达式 |
| 大 |
总量 = 6 × X大 |
| 小 |
总量 = t × X小 |
| 合 |
总量 = 4 × t |
步骤2：赋值总为12（6和4的公倍数），所有未知量都赋值成功。
| 项目 |
表达式 |
| 大 |
12 = 6 × 2 |
| 小 |
12 = 12 × 1 |
| 合 |
12 = 4 × 3 |
步骤3：答题，问只开小管的t，答案是12。
某智能设备满电情况下不接外部电源，可以开机使用3小时或者待机51小时，现在满电且不接外部电源情况下，开机使用N分钟后，剩余电量的待机时长也是N分钟，问N是多少？
用 X 代表效率
步骤1：列行
| 项目 |
表达式 |
| 开机 |
总量 = t × X开 |
| 待机 |
总量 = t × X待 |
步骤2：统一单位，赋值总量为51*60（3和51的公倍数），所有未知量都赋值成功。
| 项目 |
表达式 |
| 开机 |
5160 = 360 × 17 |
| 待机 |
5160 = 5160 × 1 |
据此可知，开机每分钟消耗17单位电量，待机每分钟消耗1单位电量。
步骤3：根据题干列式，
51*60 - 17N = N
解得：N = 170
将A、B两个工程交给甲、乙两个工程队实施，已知A工程甲、乙合作需14小时完成，甲单独需18小时完成；B工程甲、乙合作需18小时完成，乙单独需30小时完成。问如两个工程队同时开始工作且在完成所有工程之前中途不休息，则完成时间最长和最短的实施方案，完成时间相差：
解析
步骤1：赋值总量,计算甲、乙的工作效率。
| 项目 |
A工程 |
B工程 |
| 甲 |
126=18*7 |
90=45*2 |
| 乙 |
126=63*2 |
90=30*3 |
| 合 |
126=14*9 |
90=18*5 |
可知，最擅长情况：甲A效率为7，乙B效率为3。
最不利情况：甲B效率为2，乙A效率为2。
这道题放弃吧，太费时间。
甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先施工，用了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了9天。则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？
完整题目
甲、乙二人合作计划30天完成一项工程，甲的工作效率是乙的2倍。两人合作10天后，甲的效率提升25%，乙的效率提升50%。又合作10天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预计时间：
选项
解析
步骤1：赋值效率,甲2，乙1
| 项目 |
A工程 |
| 甲 |
90=45*2 |
| 乙 |
90=90*1 |
| 合 |
90=30*3 |
【例1】（2022 联考）为保障冬奥会比赛顺利进行，各场馆需对设施设备进行测评，合格后交付使用。现对一赛道进行检测，已知检测时匀速作业，如甲机构单独检测需要 90 分钟，乙机构单独检测需要 135 分钟，现两机构同时协作检测 45 分钟后，甲单独完成剩余部分。问甲机构一共检测了多少分钟？
【例2】(2022四川) 某项工程，甲、乙、丙、丁四个人单独完成分别需要16、12、16、20 小时。现按照甲、乙、丙、丁的顺序轮流来完成此项工程，每人每次1小时。当工程完成时，恰好轮到（）。
【例4】（2024河北）某学校的两位老师进行某项课程研发工作，若张老师先单独进行 9 小时，则李老师再花6小时可以完成；若张老师和李老师同时进行，则7小时完成。若张老师先进行 5 小时，则李老师需要再进行（）小时。
（2024联考）一项工程，若由甲、乙一起施工7天，乙又单独施工7天，可以完成工程总量的1/3；若由乙、丙一起施工7天，丙又单独施工7天，可完成工程总量的1/6。由此可得
【例5】(2024 陕西) 有 50 名工人要完成工厂的零件分类工作，计划 20 天完成，动工 8 天后抽出 10 人负责商品包装，剩下的工人继续对零件进行分类。如果每人的工作效率不变，那么完成零件分类工作实际要用多少天？( )
