最值问题

这类题型核心是“求最大或最小值”，逻辑明确，常用解题方法固定。

一、核心考点

1. 最不利原则（抽屉原理）：求“保证某情况发生的最不利条件”，是高频基础考点，多见于“至少…才能保证…”的问法。
2. 均值不等式：利用“和定积最大、积定和最小”求最值，适用于两数或多数的和/积关系问题。
3. 二次函数最值：通过建立二次函数模型，利用顶点坐标求最大值或最小值，常与利润、面积问题结合。
4. 线性规划最值：在多个约束条件下，求目标函数的最值，需明确变量取值范围。
5. 几何图形最值：如“给定周长求面积最大的图形”“给定面积求周长最小的图形”，有固定结论。

二、核心公式与原则

1. 最不利原则

• 核心原则：考虑“最倒霉”的情况，先让不满足条件的情况达到极致，再+1即可保证条件成立。简单来说，题目要保证有红球，就不给红球。题目要保证有苹果，就不给苹果。题目要保证啥，就不给啥。
• 公式：保证数 = 最不利情况数 + 1

2. 均值不等式（二元）

• 若两数和为定值S，当两数相等时，积最大，最大值为$ (\frac{S}{2})^2 $；
• 若两数积为定值P，当两数相等时，和最小，最小值为$ 2\sqrt{P} $；
• 适用条件：两数均为正实数。

3. 二次函数最值

• 对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $（$ a≠0 $）：
  • 若$ a>0 $，函数开口向上，当$ x=-\frac{b}{2a} $时，y取最小值$ \frac{4ac-b^2}{4a} $；
  • 若$ a<0 $，函数开口向下，当$ x=-\frac{b}{2a} $时，y取最大值$ \frac{4ac-b^2}{4a} $。

4. 几何最值结论

• 周长固定时，图形越接近圆形，面积越大（平面图形中，圆面积最大；多边形中，正多边形面积最大）；
• 面积固定时，图形越接近圆形，周长越小；
• 长方形中，周长固定，长=宽（即正方形）时面积最大；面积固定，长=宽时周长最小。

三、解题技巧

1. 看到“至少…保证…”，直接用最不利原则；
2. 涉及“和、积”关系求最值，优先尝试均值不等式（注意适用条件）；
3. 利润、产量等实际问题，可通过建立函数模型（二次函数为主）求最值；
4. 几何最值优先联想“正多边形、圆形”的特殊性质。

四、例题巩固

例题1：最不利原则

一个不透明的袋子里有红球5个、黄球3个、蓝球2个，每次摸1个球，至少摸多少次才能保证摸到红球？ 解析：

1. 最不利情况：先把非红球（黄球+蓝球）全部摸完，共3+2=5次；
2. 再摸1次必为红球，故保证数=5+1=6次。 答案：6次。

例题2：均值不等式应用

用一根长24米的篱笆围一个长方形菜园，如何围能使菜园面积最大？最大面积是多少？ 解析：

1. 设长方形长为x米，宽为y米，周长=2(x+y)=24→x+y=12（和为定值）；
2. 根据均值不等式，当x=y时，积xy最大，即x=y=6米（此时为正方形）；
3. 最大面积=6×6=36平方米。 答案：围成长宽均为6米的正方形，最大面积36平方米。

例题3：二次函数最值

某商品进价为每件20元，售价为每件x元时，每天可卖出(100-x)件，如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 解析：

1. 利润=（售价-进价）×销量，设利润为y元，则： (y=(x-20)(100-x)=-x^2+120x-2000)；
2. 二次函数中，a=-1<0，开口向下，当(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{120}{2×(-1)}=60)时，y取最大值；
3. 最大利润(y=-(60)^2+120×60-2000=1600)元。 答案：定价为每件60元时利润最大，最大利润1600元。

【例1】(2022联考)有200人参加招聘会，其中法学70人，经济学60人，工业设计50人，统计学20人，至少有（)人找到工作才能保证一定有50人的专业相同。

【例2】(2023山东)一个袋子里装了50个苹果，5个香蕉，30个橘子和50个梨，若每次从袋子里随机取出1个水果，问至少需要取多少次能肯定拿出10个相同种类的水果？

【例3】(2023浙江)某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80个抽奖券，共20个不同的数字，每个数字均出现4次，且分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当天抽1次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，才能保证至少有3人领取的礼品相同？

【例4】(2020浙江选调)箱子内有标号分别为1、2、3~25的25个乒乓球，问至少需要取出多少个乒乓球才能保证有两个的标号之差为6的倍数？

【例5】(2021联考)某草莓经销商有201箱的草莓要分配给若干个水果店，要求无论选用怎样的分配方式，都要有水果店至少分到8箱，则水果店至多有：

构造数列

例题

【例6】(2022上海)某单位进行了一次绩效考评时打分，满粉为100分。有5位员工的平均分为90分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77分，那么第二名的员工至少得（)分。(员工分数取整数)

【例7】(2023联考)某小区物业少准备了230盒口罩免费派发给10栋楼，要求任意两栋楼派发的口罩数量都不相同，但最多相差不超过1倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数量最少的栋楼最少可派发口罩：

【例8】 (2020联考)从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为62吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨。问这6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？

【例9】(2022联考)某单位有甲、乙、丙三个存放着电脑的库房，已知甲库房比乙库房多4台电脑乙库房比丙库房多2台，丙库房和甲库房共22台。现在要将三个库房的所有电脑发放给单位不同部门，要求每个部门获得的电脑数量均不相同，那么最多可以发放给几个部门？

【拓展】某高校计划招聘81名博士，拟分配到13个不同的院系，假定院系A分得的博士人数比其他院系都多，那么院系八分得的博士人数至少有多少名？

多集合反向构造

【例10】 (2022江苏)某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看过乒乓球比赛 的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：

【例11】(2021广东选调)某单位在网上办公系统传阅了15份文件，甲阅读了9份，乙阅读了12份丙阅读了10份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有()份。